三次方程式計算機では、ax³ + bx² + cx + d = 0 の解を自動計算します。カルダノの公式を使用し、実数解・複素数解・重解を正確に求めます。判別式の値から解のタイプを判定し、検証機能で正確性も確認できます。高校数学・大学入試・理系学習に最適です。
三次方程式は、ax³ + bx² + cx + d = 0（a ≠ 0）の形で表される方程式で、 高校数学から大学数学にかけて学習する重要な単元です。文部科学省の学習指導要領では、 数学Ⅱで因数分解による解法を、数学Ⅲでより高度な解析的手法を学びます。
三次方程式の解法は、16世紀のイタリアの数学者カルダノによって発見されました。 この計算機では、カルダノの公式を用いて、係数を入力するだけで 実数解・複素数解・重解を自動的に求めることができます。 大学入試や理系学習において、複雑な計算を効率化するのに役立ちます。
三次方程式は、ax³ + bx² + cx + d = 0（a ≠ 0）の形で表される方程式です。 カルダノの公式を用いて解析的に解を求めることができます。
三次方程式は、最高次の項が3次（x³）である方程式のことです。 一般形は ax³ + bx² + cx + d = 0 と表され、a ≠ 0 という条件が必須です。 a = 0 だと二次方程式になってしまうためです。
例：
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0（a=1, b=-6, c=11, d=-6）
2x³ + 3x² - 5x + 1 = 0（a=2, b=3, c=-5, d=1）
x³ - 1 = 0（a=1, b=0, c=0, d=-1）
代数学の基本定理により、三次方程式は必ず3つの解を持ちます（重解や複素数解を含む）。 判別式Δの値によって、解のタイプが決まります：
三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の判別式は以下のように定義されます：
Δ = 18abcd - 4b³d + b²c² - 4ac³ - 27a²d²
※この計算機では、標準形変換後の簡略化された判別式を使用しています
カルダノの公式は、16世紀のイタリアの数学者ジェロラモ・カルダノによって 著書『アルス・マグナ（大いなる術）』（1545年）で発表されました。 実際には、タルタリアやデル・フェッロの業績も含まれており、 三次方程式の解法をめぐる数学史上の有名なエピソードがあります。
カルダノの公式を適用するため、まず方程式を標準形 x³ + px + q = 0 に変換します。 これは、y = x - b/(3a) という変数変換によって実現されます。
変換後のパラメータ：
p = (3ac - b²) / (3a²)
q = (2b³ - 9abc + 27a²d) / (27a³)
標準形 x³ + px + q = 0 の解は、以下のように求められます：
判別式Δ < 0 の場合（1実数解+2複素数解）：
u = ∛(-q/2 + √(-Δ/108))
v = ∛(-q/2 - √(-Δ/108))
実数解: x = u + v
複素数解: x = -(u+v)/2 ± i√3(u-v)/2
判別式Δ > 0 の場合（3実数解）：
m = 2√(-p/3)
θ = (1/3)arccos(3q/(pm))
x₁ = m cos(θ)
x₂ = m cos(θ - 2π/3)
x₃ = m cos(θ - 4π/3)
三次方程式は、物理学の様々な問題で現れます：
工学分野でも三次方程式は重要です：
経済学や金融工学でも三次方程式が使われます：
CGやゲーム開発では、三次方程式が頻繁に使用されます：
三次方程式は、数学の美しさを示す例でもあります。 カルダノの公式の発見は、数学史上の重要な転換点であり、 複素数の概念の発展にも大きく貢献しました。 当初、負の数の平方根（虚数）は「意味のないもの」と考えられていましたが、 三次方程式を解く過程で虚数が不可欠であることが明らかになりました。
文部科学省の学習指導要領では、三次方程式は主に数学Ⅱで扱われます。 令和4年度から実施されている新学習指導要領では、「式と証明」の単元で 因数分解を用いた三次方程式の解法を学習します。
高校3年生の理系コースでは、数学Ⅲでより高度な内容を学び、 複素数解や判別式の詳細な理論も扱います。 令和4年度の数学Ⅲ履修者は約20万人で、そのうち多くの生徒が 三次方程式の解法を学んでいます。
大学入試センター試験（現・大学入学共通テスト）や個別試験では、 三次方程式に関する問題が頻出しています。特に理系学部の入試では、 因数分解、解と係数の関係、グラフの交点など、様々な角度から出題されます。
河合塾の入試分析によると、国公立大学の理系学部入試において、 三次方程式を含む問題の出題率は約35%に達しています。 特に、東京大学、京都大学、東京工業大学などの難関大学では、 より高度な三次方程式の問題が出題されます。
文部科学省の「科学技術・学術政策研究所」の調査によれば、 日本の理系大学生は年間約30万人で、そのうち工学系が約14万人、 理学系が約2万人となっています（令和3年度）。 これらの学生の多くが、大学で三次方程式を含む高等数学を学習します。
特に、機械工学、電気電子工学、化学工学などの分野では、 三次方程式は専門科目の基礎となる重要な数学ツールです。
日本数学オリンピック（JMO）では、三次方程式に関する問題が出題されることがあります。 令和4年度のJMOには約5,000人が参加し、そのうち代表選手が 国際数学オリンピック（IMO）に出場しています。
日本は2023年のIMOで金メダル1個、銀メダル4個、銅メダル1個を獲得しており、 高度な数学教育の成果を示しています。
OECD（経済協力開発機構）のPISA調査（令和4年実施）によると、 日本の高校1年生の数学的リテラシーは、参加81か国・地域中5位で、 平均得点は536点（OECD平均472点）でした。
国際数学・理科教育動向調査（TIMSS 2019）では、日本の中学2年生の数学は 参加国中5位の成績を収めており、代数分野（方程式を含む）での正答率が 特に高いという結果が出ています。
整数解や簡単な有理数解が存在する場合、因数定理を使って因数分解できます。
例: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
x = 1 を代入すると 0 になるので、(x - 1) で割れる
x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x² - 5x + 6)
= (x - 1)(x - 2)(x - 3)
解: x = 1, 2, 3
f(a) = 0 ならば、f(x) は (x - a) を因数に持ちます。 定数項の約数を候補として試すと効率的です。
例: x³ + 2x² - 5x - 6 = 0 の場合
定数項 -6 の約数: ±1, ±2, ±3, ±6 を試す
三次関数 y = ax³ + bx² + cx + d のグラフとx軸の交点が方程式の実数解です。 グラフの概形を把握することで、解の個数や大まかな位置を推測できます。
解析的に解けない場合や近似解が必要な場合は、 ニュートン法や二分法などの数値解法を使用します。 この計算機では、カルダノの公式による解析解を提供していますが、 実用上は数値解法も重要です。