定積分計算機は、様々な関数の定積分を数値積分法で自動計算するツールです。シンプソンの公式と台形公式の2つの手法を使用し、高精度な近似値を算出します。2次関数、指数関数、三角関数など多様な関数に対応。グラフと軸で囲まれた領域の面積計算にも活用できます。高校数学から大学の微積分学習まで幅広くサポートします。
定積分とは、関数f(x)を区間[a, b]で積分した値のことで、 記号では ∫[a,b] f(x)dx と表されます。 幾何学的には、関数のグラフとx軸、x=aとx=bの直線で囲まれた領域の面積 （符号付き）を表します。
定積分は、微分積分学（calculus）の中心的な概念の一つであり、 面積計算、体積計算、物理学における仕事やエネルギーの計算、 確率論における期待値の計算など、数学や科学の様々な分野で応用されています。
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定積分とは、関数f(x)を区間[a, b]で積分した値のことです。 記号で ∫[a,b] f(x)dx と表され、幾何学的には関数のグラフとx軸で囲まれた 領域の面積（符号付き）を表します。
文部科学省の学習指導要領によると、定積分は高校数学Ⅲで学習する重要な単元です。 微分積分学の基本定理を理解し、関数の積分を計算する技能を身につけることは、 理工系分野への進学や、科学的思考力の育成に不可欠です。
大学入学共通テスト（旧センター試験）や各大学の個別試験において、 定積分は頻出分野となっています。特に理系学部では、 定積分の計算技能だけでなく、その応用力も問われます。詳しくはこちら →
定積分を計算する方法には、解析的方法と数値的方法があります。
不定積分（原始関数）F(x)が求められる場合、 定積分は F(b) - F(a) で計算できます。
例：∫[0,2] x² dx を計算
答え：8/3 ≈ 2.667
不定積分が求められない関数や、複雑な関数の場合に使用します。
シンプソンの公式（Simpson's rule）
区間を偶数個に分割し、3点ずつを2次関数で近似して積分する方法。 精度が非常に高く、実用的によく使われます。
誤差のオーダー：O(h⁴) ※hは刻み幅
台形公式（Trapezoidal rule）
区間を分割し、各区間を台形で近似して面積を計算する方法。 シンプルで理解しやすいです。
誤差のオーダー：O(h²) ※hは刻み幅
微分積分学の基本定理は、微分と積分が互いに逆演算の関係にあることを示す 数学史上最も重要な定理の一つです。17世紀にニュートンとライプニッツによって 独立に発見されました。
f(x)が連続関数のとき、F(x) = ∫[a,x] f(t)dt とすると、
F'(x) = f(x)
つまり、定積分で定義された関数を微分すると元の関数に戻ります。
F(x)がf(x)の原始関数（不定積分）のとき、
∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)
これにより、定積分の計算が原始関数の値の差として求められます。
曲線と軸で囲まれた領域の面積を求めることができます。 建築設計や土地測量などで実用的に使われています。
例：放物線 y = x² と直線 y = 4 で囲まれた面積
∫[-2,2] (4 - x²)dx = [4x - (1/3)x³]₍₋₂₎² = 32/3 ≈ 10.67
回転体の体積や、断面積が既知の立体の体積を計算できます。
例：y = x を x軸周りに回転させてできる円錐の体積（0 ≤ x ≤ h）
V = π∫[0,h] x² dx = π[(1/3)x³]₀ʰ = (1/3)πh³
物理学では、力と距離から仕事を計算したり、 速度から移動距離を求めたりする際に定積分を使用します。
仕事の計算
力F(x)がxに依存する場合、区間[a,b]での仕事Wは：
W = ∫[a,b] F(x)dx
移動距離の計算
速度v(t)が時刻tの関数の場合、時刻[t₁,t₂]での移動距離sは：
s = ∫[t₁,t₂] v(t)dt
連続確率変数の確率や期待値の計算に定積分が使われます。
確率密度関数f(x)のとき、区間[a,b]での確率Pは：
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a,b] f(x)dx
電気工学では交流電力の計算、機械工学では応力分布の計算など、 様々な工学分野で定積分が活用されています。
実効値（RMS）の計算
周期Tの交流電圧v(t)の実効値Vᵣₘₛは：
Vᵣₘₛ = √[(1/T)∫[0,T] v²(t)dt]
数値積分法による計算結果は近似値であり、真の値との間に誤差があります。 誤差の大きさは、使用する手法や分割数によって異なります。
※h は刻み幅、O(h²)は誤差が h² に比例することを意味します
∫[0,3] (2x² - 3x + 1)dx を計算
原始関数：F(x) = (2/3)x³ - (3/2)x² + x
F(3) - F(0) = 18 - 13.5 + 3 - 0 = 7.5
答え：7.5
∫[0,π] sin(x)dx を計算
原始関数：F(x) = -cos(x)
F(π) - F(0) = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2
答え：2
∫[0,1] eˣdx を計算
原始関数：F(x) = eˣ
F(1) - F(0) = e¹ - e⁰ = e - 1 ≈ 1.718
答え：e - 1 ≈ 1.718