この微分 計算機では、関数の導関数を簡単に計算できます。基本的な多項式、三角関数、指数関数、対数関数の微分に対応し、計算過程も詳しく表示します。高校数学の微分積分、大学の微積分学の学習や問題の答え合わせに最適です。
微分（びぶん、Differentiation）は、関数の変化率を求める数学的操作です。ある関数 f(x) に対して、その導関数（どうかんすう）f'(x) を求めることを微分すると言います。導関数は、関数がどのくらいの速さで変化しているかを表す重要な概念です。
日本の文部科学省の学習指導要領では、微分は高校2年生（数学II）で初めて学習します。17世紀にニュートンとライプニッツによって独立に発見された微分は、現代の科学技術の基礎となっており、物理学、工学、経済学、情報科学など、あらゆる分野で応用されています。
| 関数 f(x) | 導関数 f'(x) | 規則 |
|---|---|---|
| x^2 | 2x | 累乗の微分 |
| x^3 | 3x^2 | 累乗の微分 |
| 2x | 2 | 線形関数の微分 |
| 5 | 0 | 定数の微分 |
| x^n | nx^(n-1) | 累乗則 |
| sin(x) | cos(x) | 三角関数 |
| cos(x) | -sin(x) | 三角関数 |
| e^x | e^x | 指数関数 |
| ln(x) | 1/x | 対数関数 |
微分とは、関数の変化率を求める計算です。導関数 f'(x) は、 元の関数 f(x) がどのくらいの速さで変化しているかを表します。
導関数の定義：
f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x)) / h
この式は、xの微小な変化hに対する、f(x)の変化量の比率の極限を表します。
関数 y = f(x) のグラフ上の点 (x, f(x)) における接線の傾きが、導関数 f'(x) の値です。つまり、微分は曲線の「傾き」を求める操作と言えます。
例：放物線 y = x² の場合
位置を表す関数 s(t) を時間 t で微分すると、速度 v(t) = s'(t) が得られます。さらに速度を時間で微分すると、加速度 a(t) = v'(t) = s''(t) になります。これは高校物理の運動学で重要な概念です。
(x^n)' = nx^(n-1)
例：
• (x²)' = 2x
• (x³)' = 3x²
• (x⁴)' = 4x³
• (x⁻¹)' = -x⁻² = -1/x²
(cf(x))' = cf'(x)
例：
• (3x²)' = 3·2x = 6x
• (5x³)' = 5·3x² = 15x²
(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)
例：
• (x² + 3x)' = 2x + 3
• (x³ - 2x²)' = 3x² - 4x
(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
例：
• (x²·x³)' = 2x·x³ + x²·3x² = 5x⁴
(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)) / (g(x))²
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)
例：
• ((2x+1)³)' = 3(2x+1)²·2 = 6(2x+1)²
| 関数 f(x) | 導関数 f'(x) | 分類 |
|---|---|---|
| c（定数） | 0 | 定数 |
| x^n | nx^(n-1) | 累乗 |
| sin(x) | cos(x) | 三角関数 |
| cos(x) | -sin(x) | 三角関数 |
| tan(x) | 1/cos²(x) | 三角関数 |
| e^x | e^x | 指数関数 |
| a^x | a^x·ln(a) | 指数関数 |
| ln(x) | 1/x | 対数関数 |
| log_a(x) | 1/(x·ln(a)) | 対数関数 |
文部科学省の学習指導要領に基づき、微分は段階的に学習されます：
国立教育政策研究所の調査によると、高校2年生の微分単元の理解度は約58%で、特に連鎖律（合成関数の微分）の理解に課題があります。詳しくはこちら →
運動学：位置の時間微分が速度、速度の時間微分が加速度です。自動車の設計、ロケットの軌道計算、地震波の解析など、あらゆる運動の分析に使用されます。
例：自由落下
位置：s(t) = (1/2)gt²
速度：v(t) = s'(t) = gt
加速度：a(t) = v'(t) = g（重力加速度）
電磁気学：電流は電荷の時間微分、誘導起電力は磁束の時間微分です。電気回路の設計、発電機の開発に不可欠です。
限界費用・限界収入：費用関数や収入関数を微分することで、追加1単位あたりのコストや収入を求めます。企業の最適生産量の決定に使用されます。
例：利潤最大化
利潤関数：π(x) = 収入(x) - 費用(x)
利潤を最大化：π'(x) = 0 を解く
オプション価格：ブラック・ショールズ方程式など、金融派生商品の価格決定に偏微分方程式が使用されます。日本銀行の金融政策分析でも活用されています。
勾配降下法：ニューラルネットワークの学習では、損失関数を微分（勾配計算）し、パラメータを最適化します。これは現代のAI技術の基礎です。
誤差逆伝播法：深層学習では、連鎖律を使って各層のパラメータの勾配を計算します。Google、Meta、OpenAIなどの企業が開発するAIモデルで使用されています。
薬物動態：体内の薬物濃度の変化を微分方程式でモデル化し、最適な投与量や投与間隔を決定します。
人口動態：人口増加率は人口の時間微分です。感染症の伝播モデル（SIRモデルなど）でも微分方程式が使用されます。厚生労働省の疫学研究で活用されています。
天気予報：大気の流れを記述するナビエ・ストークス方程式は偏微分方程式です。気象庁のスーパーコンピュータで数値計算されています。
気候変動モデル：温室効果ガスの濃度変化、海面温度の変動などを微分方程式で表現し、将来予測を行います。
エッジ検出：画像の輝度の勾配（微分）を計算してエッジを抽出します。顔認識、自動運転などに応用されています。
誤り1：累乗則の適用ミス
❌ 間違い：(x³)' = x²
✓ 正解：(x³)' = 3x²（指数を係数として前に出す）
誤り2：積を間違って微分
❌ 間違い：(x²·sin(x))' = 2x·cos(x)
✓ 正解：(x²·sin(x))' = 2x·sin(x) + x²·cos(x)（積の公式）
誤り3：合成関数の連鎖律を忘れる
❌ 間違い：((2x+1)²)' = 2(2x+1)
✓ 正解：((2x+1)²)' = 2(2x+1)·2 = 4(2x+1)（内側の微分×2も掛ける）
誤り4：定数を消し忘れる
❌ 間違い：(x² + 5)' = 2x + 5
✓ 正解：(x² + 5)' = 2x + 0 = 2x（定数の微分は0）
微分の逆操作です。導関数から元の関数を求める「不定積分」と、曲線下の面積を求める「定積分」があります。微分と積分は微積分学の2大柱です。
微分の定義には極限の概念が不可欠です。lim[h→0] という記号は、hが0に限りなく近づくときの値を表します。
多変数関数（f(x,y) など）において、1つの変数だけで微分することを偏微分と言います。機械学習や物理学で広く使用されます。
未知関数とその導関数を含む方程式です。物理法則の多くは微分方程式で表されます（ニュートンの運動方程式、マクスウェル方程式など）。