この固有値計算機では、2×2行列および3×3行列の固有値と固有ベクトルを計算できます。線形代数、大学数学、工学、物理学の学習に最適な数学ツールです。
固有値（こゆうち、英: eigenvalue）と固有ベクトル（eigenvector）は、線形代数における最も重要な概念の一つです。固有値 計算は、数学、物理学、工学、データサイエンスなど幅広い分野で応用されています。
n次正方行列 A に対して、ゼロでないベクトル v が Av = λv を満たすとき、v を固有ベクトル、スカラー λ を固有値と呼びます。これは「行列 A によってベクトル v を変換しても、方向は変わらず大きさだけが λ 倍になる」ことを意味します。
固有値の概念は、1846年にフランスの数学者オーギュスタン・ルイ・コーシーによって導入されました。その後、19世紀から20世紀にかけて、多くの数学者（カール・ヤコビ、シャルル・エルミート、ダフィット・ヒルベルトなど）によって理論が発展しました。
日本では、大学1〜2年生の線形代数で固有値・固有ベクトルを学習します。理工系の学生にとって必須の知識であり、量子力学、振動解析、主成分分析（PCA）、Googleのページランクアルゴリズムなど、多くの実用的な応用があります。
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固有値（こゆうち、eigenvalue）と固有ベクトル（eigenvector）は、線形代数における重要な概念です。
行列 A に対して、Av = λv を満たすベクトル v（≠ 0）を固有ベクトル、 スカラー λ を固有値と呼びます。
固有値は det(A - λI) = 0 を解いて求めます。これを固有方程式（特性方程式）と呼びます。
固有値 λ は、固有方程式（特性方程式）det(A - λI) = 0 を解いて求めます。
ここで、det は行列式、I は単位行列です。
行列 A = [[a, b], [c, d]] の固有方程式は：
det(A - λI) = det([[a-λ, b], [c, d-λ]]) = 0
(a-λ)(d-λ) - bc = 0
λ² - (a+d)λ + (ad-bc) = 0
これは λ についての2次方程式なので、解の公式で解けます：
λ = [(a+d) ± √((a+d)² - 4(ad-bc))] / 2
固有値 λ が求まったら、(A - λI)v = 0 を解いて固有ベクトル v を求めます。
例：λ = 3 のとき、[[a-3, b], [c, d-3]] [[v₁], [v₂]] = [[0], [0]] を解きます。
日本の大学では、理工系学部の1〜2年生で線形代数を必修科目として学習します。文部科学省の調査によると、国立大学の工学部では、ほぼ100%の大学で線形代数が必修とされています。
線形代数の標準的なカリキュラムでは、以下の順序で学習します：
東京大学、京都大学、東京工業大学などの主要大学では、1年生の前期・後期で線形代数I・IIを開講しています。
特に東京大学では、教養学部前期課程で「線形代数学」が必修科目となっており、約3,000名の学生が毎年受講しています。教科書として、斎藤正彦『線形代数入門』（東京大学出版会）が広く使用されています。
公益財団法人日本数学検定協会が実施する「実用数学技能検定」では、準1級（高校3年〜大学程度）で固有値・固有ベクトルが出題範囲に含まれています。
準1級の合格率は約15〜20%で、線形代数の理解が合格の鍵となります。
大学入学共通テストでは固有値は出題されませんが、一部の国立大学（東京大学、京都大学など）の個別試験では、行列と固有値に関する問題が出題されることがあります。
2022年度の大学入試では、複数の国立大学で行列の対角化や固有値に関する問題が出題されました。
量子力学では、物理量を表す演算子の固有値が観測可能な値を表します。例えば、エネルギー演算子（ハミルトニアン）の固有値は、系が取りうるエネルギー準位を表します。
日本の量子力学研究は世界トップレベルで、2014年にノーベル物理学賞を受賞した赤崎勇、天野浩、中村修二の青色LED開発でも、半導体のバンド構造（固有値問題）の理解が重要でした。
建築物や機械の振動特性を解析する際、固有振動数（固有値）と固有モード（固有ベクトル）を計算します。
日本では、地震国であるため耐震設計が重要です。建築基準法では、一定規模以上の建物について固有周期（固有値から計算）の算定が義務付けられています。
例：東京スカイツリー（634m）の固有周期は約5秒で、これは構造設計時に固有値解析により求められました。
データサイエンスにおける次元削減手法の一つである主成分分析（PCA: Principal Component Analysis）は、データの共分散行列の固有値・固有ベクトルを計算します。
日本企業でも、マーケティングデータの分析や製造業の品質管理にPCAが広く活用されています。例えば、トヨタ自動車では車両開発時の多変量解析にPCAを使用しています。
Googleの検索エンジンで使用されるページランクアルゴリズムは、Webページのリンク構造を表す巨大な行列の最大固有値に対応する固有ベクトルを計算しています。
このアルゴリズムの開発者であるラリー・ペイジとセルゲイ・ブリンは、固有値理論を応用してインターネット検索に革命をもたらしました。
顔認識技術では、固有顔（eigenface）という手法が使用されます。これは顔画像の共分散行列の固有ベクトルを計算することで、顔の特徴を抽出します。
日本では、NECやパナソニックが顔認識技術で世界をリードしており、空港の入国審査や防犯カメラでの人物特定に活用されています。
ロボット工学や自動車の自動運転技術では、システムの安定性解析に固有値が使用されます。システム行列の固有値が負の実部を持つかどうかで、システムの安定性を判定できます。
日本のロボット産業は世界シェアの約50%を占めており、ファナック、安川電機、川崎重工業などが制御技術で固有値解析を活用しています。
3×3以上の大きな行列の固有値を求めるには、数値解法が必要です。
固有値計算アルゴリズムの研究では、日本の研究者も大きく貢献しています。特に、理化学研究所の計算科学研究センターでは、スーパーコンピュータ「富岳」を使用した大規模固有値問題の高速計算手法を開発しています。
また、東京大学の杉原正顯教授らは、精度保証付き固有値計算（計算結果の誤差範囲を数学的に保証する方法）の研究で国際的に評価されています。