この最大 公約 数 計算機では、2つ以上の整数の最大公約数（GCD）を簡単に計算できます。ユークリッドの互除法を使用し、計算の各ステップも詳しく表示します。素因数分解による確認も可能です。小学生から中学生の算数・数学学習、宿題の答え合わせに最適です。
最大公約数（さいだいこうやくすう、GCD: Greatest Common Divisor）は、 2つ以上の整数に共通する約数（因数）のうち、最大のものです。 例えば、12と18の約数を考えると、12の約数は1,2,3,4,6,12、18の約数は1,2,3,6,9,18です。 共通する約数は1,2,3,6で、その中で最大のものは6なので、GCD(12,18) = 6となります。
文部科学省の学習指導要領によると、最大公約数は小学5年生で学習します。 これは分数の約分や通分、比の簡単化など、算数・数学の多くの場面で必要となる重要な概念です。 国立教育政策研究所の「全国学力・学習状況調査」では、最大公約数に関する問題の正答率は約67%で、 特に3つ以上の数の最大公約数を求める問題で誤答が多く見られます。
最大公約数（GCD: Greatest Common Divisor）は、 2つ以上の整数に共通する約数のうち、最大のものです。 「最大公約数」は日本語で、英語では Greatest Common Divisor（GCD）または Highest Common Factor（HCF）と呼ばれます。
2つの数 a, b（a ≥ b）の最大公約数を求める効率的なアルゴリズムです。 a を b で割った余りを r とすると、GCD(a, b) = GCD(b, r) となります。 この操作を余りが0になるまで繰り返します。
例：GCD(48, 18)
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0
余りが0になったので、GCD = 6
例：24と36の最大公約数
24の約数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36の約数：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
共通する約数：1, 2, 3, 4, 6, 12
最大公約数 = 12
この方法は直感的ですが、大きな数では時間がかかります。
例：24と36の最大公約数
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
共通する素因数の最小の指数を取る：
2の指数：min(3, 2) = 2 → 2²
3の指数：min(1, 2) = 1 → 3¹
最大公約数 = 2² × 3 = 4 × 3 = 12
ユークリッドの互除法は、紀元前300年頃に古代ギリシャの数学者ユークリッドが 『原論』で紹介した、最大公約数を求める最も効率的なアルゴリズムです。
アルゴリズム：
例：GCD(48, 18)
48 = 18 × 2 + 12 → GCD(48, 18) = GCD(18, 12)
18 = 12 × 1 + 6 → GCD(18, 12) = GCD(12, 6)
12 = 6 × 2 + 0 → GCD(12, 6) = 6
答え：GCD = 6
この方法は大きな数でも高速に計算でき、コンピュータでも広く使用されています。
文部科学省の学習指導要領では、最大公約数と最小公倍数の学習は段階的に進められます：
国立教育政策研究所の調査によると、小学5年生の最大公約数に関する問題の正答率は約67%です。 特に3つ以上の数の最大公約数や、文章題での応用で誤答が多く見られます。詳しくはこちら →
問題例：お菓子の分配
クッキー24個とチョコレート36個を、できるだけ多くの人に、 同じ内容で余りなく配ります。最大何人に配れますか？
答え：GCD(24, 36) = 12人 （各人はクッキー2個とチョコレート3個を受け取る）
このように、複数の物を公平に分配する問題で最大公約数が使用されます。
問題例：正方形タイルの配置
縦60cm、横84cmの長方形の部屋の床に、できるだけ大きい正方形のタイルを 隙間なく敷き詰めます。タイルの1辺は何cmですか？
答え：GCD(60, 84) = 12cm
建築やインテリアデザインで、タイル、壁紙、布地の配置を計算する際に使用されます。
問題例：信号機の同期
AとBの2つの信号機があり、Aは12秒周期、Bは18秒周期で点滅します。 同時に点灯してから、次に同時に点灯するまで何秒かかりますか？
答え：LCM(12, 18) = 36秒（最小公倍数を使用）
※最小公倍数は最大公約数を使って効率的に計算できます：LCM(a,b) = a×b / GCD(a,b)
交通システム、工場の生産ライン、電気回路など、周期的な現象の同期問題で使用されます。
RSA暗号：インターネット通信で広く使用されるRSA暗号方式では、 ユークリッドの互除法の拡張版（拡張ユークリッドの互除法）が鍵生成に使用されます。 オンラインバンキング、電子商取引、暗号通貨など、現代のデジタル社会の安全性を支える基礎技術です。
総務省や経済産業省が推進する情報セキュリティ政策でも、暗号技術の重要性が強調されています。
音程と周波数：音楽の和音（協和音）は、音の周波数比が簡単な整数比（例：2:3、3:4） になるとき、美しく響きます。最大公約数を使って周波数比を簡単化することで、 音程の関係を理解できます。
例：ド（440Hz）とソ（660Hz）の周波数比は440:660です。 GCD(440, 660) = 220で約分すると、2:3となり、これは完全5度の音程です。
画像処理：画像のアスペクト比（縦横比）を簡単化する際に最大公約数を使用します。 例えば、1920×1080ピクセルの画像は、GCD(1920, 1080) = 120で約分すると16:9となります。
データ圧縮：LZ77などの圧縮アルゴリズムでも、効率的な数値計算にユークリッドの互除法が使用されます。
問題例：定期検査の同時実施
機械Aは6日ごと、機械Bは8日ごと、機械Cは12日ごとに定期検査を行います。 3つの機械を同時に検査できる最短の間隔は何日ですか？
答え：LCM(6, 8, 12) = 24日
製造業、メンテナンス計画、プロジェクト管理などで活用されます。
誤り1：最大公約数と最小公倍数を混同
❌ 間違い：GCD(12, 18) = 36
✓ 正解：GCD(12, 18) = 6（最小公倍数LCMは36）
誤り2：共通する約数の「和」を答える
12と18の共通約数：1, 2, 3, 6
❌ 間違い：1+2+3+6 = 12
✓ 正解：最大のもの = 6
誤り3：素因数分解で指数の扱いを間違える
24 = 2³ × 3、36 = 2² × 3²
❌ 間違い：2³ × 3² = 72
✓ 正解：2^min(3,2) × 3^min(1,2) = 2² × 3 = 12
誤り4：3つ以上の数を一度に処理しようとする
GCD(12, 18, 24)を求める際
❌ 間違い：複雑な計算で混乱する
✓ 正解：2つずつ順番に計算 → GCD(GCD(12,18), 24) = GCD(6, 24) = 6
最大公約数と最小公倍数には、以下の重要な関係式があります：
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
（2つの数の最大公約数と最小公倍数の積は、2つの数の積に等しい）
例：12と18の場合
GCD(12, 18) = 6
LCM(12, 18) = 36
確認：6 × 36 = 216 = 12 × 18 ✓
この関係を利用すると、最大公約数がわかれば最小公倍数を簡単に求められます：
LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)
2つ以上の数に共通する倍数のうち、最小のものです。最大公約数と表裏一体の関係にあり、 分数の通分や周期の同期問題で使用されます。
自然数を素数の積で表すことです。最大公約数を求める際の重要な手法の一つです。 例：24 = 2³ × 3
2つの数の最大公約数が1であるとき、その2つの数は互いに素であると言います。 暗号理論で重要な概念です。
GCD(a, b) = d のとき、ax + by = d を満たす整数 x, y が存在します。 拡張ユークリッドの互除法で x, y を求めることができます。