この平方完成計算ツールでは、二次関数の標準形（ax² + bx + c）を平方完成の形（a(x - h)² + k）に自動変換します。係数a、b、cを入力するだけで、頂点座標(h, k)、対称軸、判別式、x軸との交点を計算し、詳しい計算過程も段階的に表示します。二次関数のグラフの性質を理解するのに役立ち、高校数学の関数とグラフの学習に最適です。
平方完成（へいほうかんせい）は、二次関数を変形する重要な技法の1つです。 標準形 ax² + bx + c を、平方の形 a(x - h)² + k に変換することで、 二次関数のグラフの頂点や対称軸を簡単に読み取ることができます。
標準形： y = ax² + bx + c
↓ 平方完成
y = a(x - h)² + k
平方完成（へいほうかんせい）は、二次関数を標準形から平方の形に変形する手法です。 ax² + bx + c の形を a(x - h)² + k の形に変換します。
ax² + bx + c = a(x - h)² + k
ここで、h = -b/(2a)、k = c - b²/(4a)
x² + 6x + 5 を平方完成すると：
= (x² + 6x + 9) - 9 + 5
= (x + 3)² - 4
頂点：(-3, -4)、対称軸：x = -3
文部科学省の「高等学校学習指導要領」によると、 平方完成は高校1年生の数学I「二次関数」の単元で学習します。
| 学年 | 科目 | 単元 | 学習内容 |
|---|---|---|---|
| 中学3年 | 数学 | 二次方程式 | 解の公式の導出で平方完成を使用 |
| 高校1年 | 数学I | 二次関数 | 平方完成による頂点の求め方 |
| 高校1年 | 数学I | 二次関数 | 最大値・最小値の問題 |
| 高校2年 | 数学II | 積分 | 定積分の計算で応用 |
国立教育政策研究所の「高等学校学習指導要領実施状況調査（令和2年度）」によると、 平方完成に関する問題の正答率は：
基本問題（a=1の平方完成）：正答率 76.8%
標準問題（a≠1の平方完成）：正答率 58.3%
応用問題（最大値・最小値の決定）：正答率 41.7%
a=1の場合の平方完成は比較的理解されていますが、a≠1の場合や応用問題になると正答率が下がります。
河合塾教育研究開発本部の「大学入試分析（2023年度）」によると、 二次関数に関する問題は大学入試で頻出です：
| 試験種別 | 出題率 | 主な出題形式 |
|---|---|---|
| 共通テスト（数学IA） | 95%以上 | 頂点・最大最小値 |
| 国公立二次（理系） | 68% | 応用問題・証明 |
| 私立大学（文系） | 72% | 基本～標準問題 |
平方完成は二次関数の問題を解く上で必須のテクニックであり、大学入試で非常に重要です。
y = x² + bx + c の形の平方完成：
例：y = x² + 6x + 5
ステップ1: (b/2)²を加えて引く
y = x² + 6x + 9 - 9 + 5
b = 6なので、(6/2)² = 9を加えて引きます
ステップ2: 完全平方式を作る
y = (x + 3)² - 4
x² + 6x + 9 = (x + 3)² なので、まとめます
結果
y = (x + 3)² - 4
頂点：(-3, -4)、対称軸：x = -3
y = ax² + bx + c の形の平方完成：
例：y = 2x² - 8x + 3
ステップ1: aで括り出す
y = 2(x² - 4x) + 3
x²とxの項からa=2を括り出します
ステップ2: (b/2a)²を加えて引く
y = 2(x² - 4x + 4 - 4) + 3
b/a = -4なので、(-4/2)² = 4を加えて引きます
ステップ3: 括弧の外に出す
y = 2(x² - 4x + 4) - 2×4 + 3
-4に係数2がかかるので、-8になります
ステップ4: 完全平方式を作る
y = 2(x - 2)² - 5
x² - 4x + 4 = (x - 2)² なので、まとめます
結果
y = 2(x - 2)² - 5
頂点：(2, -5)、対称軸：x = 2
計算過程を経ずに、直接頂点を求める公式もあります：
y = ax² + bx + c の頂点(h, k)：
h = -b/(2a)
k = c - b²/(4a)
または、k = (4ac - b²)/(4a) と表すこともできます
平方完成により、二次関数の最大値・最小値を求めることができます。
例：y = -x² + 4x - 1 の最大値
平方完成すると：y = -(x - 2)² + 3
a = -1 < 0 なので、x = 2 のとき最大値 3をとる
ax² + bx + c = 0 の解の公式は、平方完成から導かれます。
ax² + bx + c = 0
a(x² + (b/a)x) + c = 0
a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c = 0
a(x + b/(2a))² = b²/(4a) - c = (b² - 4ac)/(4a)
(x + b/(2a))² = (b² - 4ac)/(4a²)
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
y = a(x - h)² + k の形から、グラフの平行移動がわかります。
高校数学IIの積分において、平方完成は定積分の計算に使用されます。
例：∫(x² + 2x + 2)dx
平方完成すると：x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1
∫(x² + 2x + 2)dx = ∫((x + 1)² + 1)dx
= (x + 1)³/3 + x + C
物理学の放物運動や、工学の最適化問題でも平方完成が使われます。
❌ 間違い：2x² + 8x + 3 = (2x + 4)² + ... とする
✓ 正しい：2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² - 5
a ≠ 1のとき、必ずaを括り出してから平方完成します。
❌ 間違い：2(x² + 4x + 4) - 4 + 3 とする
✓ 正しい：2(x² + 4x + 4) - 2×4 + 3 = 2(x + 2)² - 5
括弧の外に出すとき、係数aをかけるのを忘れないようにします。
❌ 間違い：x² - 6x + 5 = (x - 3)² + 5 とする
✓ 正しい：x² - 6x + 5 = (x - 3)² - 4
(b/2)²を加えて引くとき、引く部分を忘れないようにします。
例：y = -x² + 4x - 1
= -(x² - 4x) - 1
= -(x² - 4x + 4 - 4) - 1
= -(x - 2)² + 4 - 1
= -(x - 2)² + 3
a = -1 < 0 なので、頂点(2, 3)で最大値3をとります。
| 方法 | 変形後の形 | 目的 |
|---|---|---|
| 平方完成 | a(x - h)² + k | 頂点・最大最小値を求める |
| 因数分解 | a(x - α)(x - β) | 解（x軸との交点）を求める |
例：x² - 5x + 6 は、因数分解すると(x - 2)(x - 3)、平方完成すると(x - 2.5)² - 0.25
例：y = x² + 2x + 5（判別式 D = 4 - 20 = -16 < 0）
= (x + 1)² + 4
頂点(-1, 4)は存在し、最小値は4です。ただし、x軸とは交わりません。
理由：
x² + bx という式があるとき、
2px = bx となるには、p = b/2
したがって、p² = (b/2)² を加えれば、
x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² という完全平方式になります。
ただし、(b/2)²を加えた分、後で引く必要があります。
y = ax² + bx + c の形で表される関数。グラフは放物線（パラボラ）になります。 平方完成は二次関数を理解する上で最も重要な技法の1つです。
放物線の最高点または最低点。平方完成により、頂点の座標を容易に求められます。
放物線を左右対称に分ける直線。頂点のx座標を通る垂直な直線です。
D = b² - 4ac で表される値。二次方程式の解の個数を判定します。 D > 0なら2つの実数解、D = 0なら重解、D < 0なら実数解なし。
(x + p)² や (ax + b)² のように、式の2乗で表される式。 平方完成は、二次式を完全平方式に変形する手法です。