この逆行列計算機では、2×2行列および3×3行列の逆行列を簡単に計算できます。線形代数、大学数学、工学の学習に最適なツールです。
逆行列（ぎゃくぎょうれつ、英: inverse matrix）は、ある正方行列 A に対して、A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I（単位行列）となる行列 A⁻¹ のことです。逆 行列 計算は、線形代数で最も重要な計算の一つです。
逆行列は、連立一次方程式の解法、線形変換の逆変換、暗号理論、コンピュータグラフィックスなど、数学や工学の様々な分野で応用されています。例えば、連立方程式 Ax = b の解は x = A⁻¹b で求められます。
逆行列の概念は、19世紀に線形代数が体系化される過程で確立されました。特にドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスによる行列の掃き出し法（ガウスの消去法）は、逆行列の計算方法として現在でも使用されています。
日本では、大学の線形代数（理工系学部の1〜2年生）で逆行列を学習します。行列式が0でない正則行列のみ逆行列を持つという重要な定理や、2×2行列の逆行列の公式、余因子行列を用いた計算方法などを学びます。逆行列は、制御工学、量子力学、統計学、機械学習など、現代科学技術の基礎となっています。
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逆行列（ぎゃくぎょうれつ、英: inverse matrix）は、ある正方行列 A に対して、 A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I（単位行列）となる行列 A⁻¹ のことです。
逆行列が存在する条件は、行列式（det）が0でないことです。 det(A) ≠ 0 のとき、行列Aは正則（可逆）といい、逆行列が存在します。
A = [[a, b], [c, d]]のとき
det(A) = ad - bc
A⁻¹ = (1/det(A)) × [[d, -b], [-c, a]]
逆行列が存在する条件は、行列式（determinant）が0でないことです：
det(A) ≠ 0 ⟺ 逆行列 A⁻¹ が存在する
det(A) = 0 の場合、行列Aは特異（singular）といい、逆行列は存在しません。
2×2行列の逆行列は、以下の公式で計算できます：
A = [[a, b], [c, d]] のとき
det(A) = ad - bc
A⁻¹ = (1/det(A)) × [[d, -b], [-c, a]]
例：A = [[2, 1], [5, 3]] のとき、det(A) = 2×3 - 1×5 = 1
A⁻¹ = (1/1) × [[3, -1], [-5, 2]] = [[3, -1], [-5, 2]]
3×3行列の逆行列は、余因子行列（cofactor matrix）を用いて計算します：
実用的な逆行列の計算には、ガウスの消去法（掃き出し法）がよく使われます：
この方法は、大きな行列の逆行列を計算する際に効率的です。
日本の大学では、理工系学部の1〜2年生で線形代数を必修科目として学習し、逆行列は重要なテーマの一つです。
標準的なカリキュラムでは、以下の順序で学習します：
東京大学、京都大学、東京工業大学などの主要大学では、線形代数の授業で逆行列を詳しく扱います。
特に東京大学では、教養学部前期課程の「線形代数学」で、逆行列の理論と計算方法を体系的に学習します。教科書として、斎藤正彦『線形代数入門』（東京大学出版会）が広く使用されています。
また、計算機を用いた数値線形代数も重要で、大規模行列の逆行列計算にはLU分解やQR分解などの数値計算手法が使用されます。
線形代数の学習において、学生がつまずきやすいポイント：
大学院入試（特に工学系）では、逆行列を含む問題が頻出します。
主要大学の大学院入試での出題傾向：
連立一次方程式 Ax = b の解は、逆行列を用いて x = A⁻¹b で求められます。
例：2x + y = 5, 5x + 3y = 13 を解く
A = [[2, 1], [5, 3]], b = [5, 13]
A⁻¹ = [[3, -1], [-5, 2]]
x = A⁻¹b = [[3, -1], [-5, 2]] × [5, 13] = [2, 1]
3Dグラフィックスでは、物体の回転・拡大・移動を行列で表現します。これらの変換を元に戻す（逆変換）には、逆行列が必要です。
日本のゲーム業界（任天堂、ソニー、カプコンなど）では、3Dグラフィックスエンジンで逆行列の計算が頻繁に行われています。 特にカメラの視点変換やオブジェクトの座標変換で重要な役割を果たします。
ロボット工学や自動車の制御システムでは、状態方程式 ẋ = Ax + Bu の解析に逆行列が使用されます。
日本の産業用ロボット分野（ファナック、安川電機、川崎重工業）では、ロボットアームの逆運動学（目標位置から関節角度を計算）に逆行列（またはヤコビ行列の逆行列）が不可欠です。
例えば、トヨタ自動車の生産ラインでは、産業用ロボットが部品を正確に配置するために、リアルタイムで逆行列計算を実行しています。
Hill暗号などの古典暗号では、逆行列を用いて暗号化・復号化を行います。
暗号化：c = Km（mod 26）
復号化：m = K⁻¹c（mod 26）
K: 鍵行列、m: 平文、c: 暗号文
統計学では、最小二乗法による回帰分析で逆行列が使用されます：
回帰係数：β = (XTX)⁻¹XTy
日本企業（リクルート、ヤフー、楽天など）のデータサイエンティストは、機械学習モデルの訓練で逆行列（または擬似逆行列）を頻繁に使用しています。
量子力学では、ユニタリ行列（U⁻¹ = U†）が重要な役割を果たします。量子ゲートの操作は、ユニタリ行列とその逆行列で表現されます。
日本の量子コンピュータ研究（理化学研究所、東京大学、NTT）では、量子アルゴリズムの設計に逆行列の概念が活用されています。
大規模行列の逆行列を直接計算することは計算量が膨大（O(n³)）で、数値誤差も蓄積しやすい問題があります。
実用的には、以下の手法が使われます：