この余弦定理計算機では、三角形の辺と角度を簡単に計算できます。2辺と挟角から残りの辺を計算、または3辺から角度を計算。高校数学・大学入試の学習に最適なツールです。
余弦定理（よげんていり、英: law of cosines または cosine rule）は、三角形の辺の長さと角の大きさの関係を表す定理です。余弦 定理 計算は、高校1年生の数学Iで学習する重要な定理であり、三角測量や航海術、建築、工学など、様々な実用分野で活用されています。
余弦定理は、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を一般の三角形に拡張したものです。直角三角形だけでなく、鋭角三角形や鈍角三角形にも適用できる強力な定理で、「2辺と挟角から残りの辺を求める」「3辺から角度を求める」という2つの基本的な問題を解くことができます。
余弦定理の歴史は古く、古代ギリシャの数学者エウクレイデス（紀元前300年頃）の『原論』に原型が記されています。現代的な形式は、ペルシャの数学者アル=カーシー（1380〜1429年）が確立し、ヨーロッパでは16世紀にフランスの数学者フランソワ・ビエトが普及させました。余弦（cosine）という名称は、ラテン語の "complementi sinus"（補角の正弦）に由来します。
日本では、高校1年生の数学Iで余弦定理を学習します。正弦定理とともに三角法の基礎を成し、三角関数の理解を深める重要な学習内容です。大学入学共通テストや国立大学の二次試験でも頻出の分野であり、図形問題やベクトル問題で応用されることが多くあります。
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余弦定理（よげんていり、英: law of cosines）は、三角形の辺と角の関係を表す定理です。 高校1年生の数学Iで学習します。
a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = c² + a² - 2ca cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C
特に、A = 90°のとき cos A = 0 なので、a² = b² + c² となり、三平方の定理になります。
文部科学省の学習指導要領では、余弦定理を以下の段階で学習します：
余弦定理は、三平方の定理の一般化として教えられます。A = 90°のとき cos A = 0 となり、a² = b² + c² という三平方の定理が導かれることを確認します。
国立教育政策研究所が実施する全国学力・学習状況調査によると、余弦定理の理解には以下のような特徴があります：
特に、「どの公式を使うべきか」の判断や、「cos の値から角度を求める」計算でつまずく生徒が多いことが報告されています。また、余弦定理の公式が3つあることで混乱する生徒もいます。
日本の数学教科書（数研出版、東京書籍、啓林館など）では、余弦定理を以下のように段階的に導入しています：
大学入学共通テストや国立大学の個別試験では、余弦定理を含む問題が頻繁に出題されます。
2023年度の大学入試分析（大学入試センター調査）によると：
近年の傾向として、余弦定理を単独で使う問題よりも、ベクトルの内積、三角形の面積、図形の性質などと組み合わせた融合問題が増えています。
三角形 ABC において、辺 a, b, c と角 A, B, C の間には以下の関係が成り立ちます：
a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = c² + a² - 2ca cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C
ここで、小文字の a, b, c は辺の長さ、大文字の A, B, C はそれぞれの対角の角度を表します。 例えば、辺 a は角 A の対辺です。
三角形 ABC を座標平面上に配置して証明します：
1. 辺を求める場合（2辺と挟角がわかっている）
例：b = 4, c = 5, A = 60° のとき、a を求める
a² = 4² + 5² - 2 × 4 × 5 × cos 60°
a² = 16 + 25 - 40 × 0.5
a² = 41 - 20 = 21
a = √21 ≈ 4.58
2. 角度を求める場合（3辺がわかっている）
例：a = 3, b = 4, c = 5 のとき、角 A を求める
cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
cos A = (16 + 25 - 9) / (2 × 4 × 5)
cos A = 32 / 40 = 0.8
A = arccos(0.8) ≈ 36.87°
余弦定理は三平方の定理の一般化です：
A = 90° のとき、cos 90° = 0 なので：
a² = b² + c² - 2bc × 0
a² = b² + c²（三平方の定理）
つまり、余弦定理は直角三角形だけでなく、すべての三角形に適用できる強力な定理です。
余弦定理は、直接測定できない距離を計算するために使用されます。
日本の国土地理院では、三角測量で余弦定理を活用しています。2つの観測点からの距離と角度を測定することで、目標地点までの距離を正確に計算できます。
船舶や航空機の航法計算で余弦定理が使用されます。
日本の海上保安庁では、船舶の位置を特定する際に余弦定理を使用します。2つの灯台からの方位角を測定し、船舶の正確な位置を計算します。
JALやANAのパイロットは、航法計算で余弦定理を含む球面三角法を使用します。地球の曲率を考慮した正確な航路計算が可能になります。
天体の位置や距離の計算に余弦定理が使用されます。
国立天文台では、天体の視差（parallax）を利用した距離測定に余弦定理を応用しています。地球の公転軌道の両端から観測した天体の角度から、天体までの距離を計算します。
また、JAXAの人工衛星や探査機の軌道計算にも余弦定理が使用されています。
物理学や工学の様々な分野で余弦定理が応用されます：
日本の製造業（トヨタ自動車、日立製作所、三菱重工業など）では、機械設計や構造解析で余弦定理を日常的に使用しています。
3Dグラフィックスでは、余弦定理がベクトルの内積計算と密接に関連しています。
ベクトル a と b の内積は、a · b = |a||b| cos θ で表されます。これは余弦定理から導かれる関係です。 日本のゲーム業界（任天堂、カプコン、スクウェア・エニックスなど）では、カメラの視野角計算、光源の反射計算、衝突判定などに使用されています。
GPSは複数の衛星からの距離情報を使って位置を特定しますが、その計算過程で余弦定理に基づく三角測量の原理が使用されています。
日本の準天頂衛星システム「みちびき」も、同様の原理で高精度な位置情報を提供しています。