mod（剰余演算・モジュロ）を自動計算する計算機です。整数の除算における余りを瞬時に計算でき、プログラミング、暗号化、周期性計算、奇偶判定などに活用できます。数学学習からコンピュータサイエンス、情報工学まで幅広く対応します。
mod（モジュロ、剰余演算）は、整数の除算における余りを求める数学演算です。 「a mod b」は、a を b で割ったときの余りを表します。 例えば、17 mod 5 = 2 となります（17 ÷ 5 = 3 余り 2）。
mod演算は、古代から使われてきた概念で、特にカール・フリードリヒ・ガウスが 「合同算術（modular arithmetic）」として体系化しました。 現代では、プログラミング、暗号化、コンピュータサイエンス、数学など、 様々な分野で不可欠な演算となっています。
mod（モジュロ、剰余演算）は、整数の除算における余りを求める演算です。 「a mod b」は、a を b で割ったときの余りを表します。
mod演算は以下のように定義されます：
a mod b = r （0 ≤ r < b）
ここで、a は被除数、b は除数、r は余り（剰余）
a = q × b + r （q は商）
| 式 | 計算 | 結果 | 説明 |
|---|---|---|---|
| 17 mod 5 | 17 ÷ 5 = 3 余り 2 | 2 | 17 = 3×5 + 2 |
| 10 mod 3 | 10 ÷ 3 = 3 余り 1 | 1 | 10 = 3×3 + 1 |
| 20 mod 4 | 20 ÷ 4 = 5 余り 0 | 0 | 割り切れる |
| 7 mod 2 | 7 ÷ 2 = 3 余り 1 | 1 | 奇数 |
| 8 mod 2 | 8 ÷ 2 = 4 余り 0 | 0 | 偶数 |
加法: (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
乗法: (a × b) mod n = ((a mod n) × (b mod n)) mod n
減法: (a - b) mod n = ((a mod n) - (b mod n)) mod n
べき乗: ab mod n を効率的に計算（繰り返し二乗法）
範囲: a mod n の結果は 0 ≤ r < n
n mod 2 == 0 → 偶数
n mod 2 == 1 → 奇数
プログラミングで最も頻繁に使われるmod演算の1つ
今日が月曜日（0）の場合、n日後の曜日は：
(0 + n) mod 7
例：10日後は (0 + 10) mod 7 = 3 → 木曜日
現在15時の場合、8時間後は：
(15 + 8) mod 24 = 23時
時計の針も mod 12 または mod 24 の演算
hash_index = key mod table_size
ハッシュテーブルで、キーを配列インデックスに変換する際に使用
next_index = (current_index + 1) mod buffer_size
固定サイズの配列を循環して使用する際に利用
暗号化：c = me mod n
復号化：m = cd mod n
インターネットのセキュリティの基盤となる技術
クレジットカード番号、ISBN、バーコードなどの検証
例：ISBN-13 のチェックディジットは mod 10 を使用
文部科学省の学習指導要領では、mod演算（剰余演算）は高校数学A「整数の性質」で学習します。 令和4年度から実施されている新学習指導要領では、「ユークリッドの互除法」や「合同式」として、 整数の除法と余りの概念を学びます。
国立教育政策研究所の調査によると、「整数の性質」は高校数学の中でも つまずきやすい単元の一つで、特に「合同式」の概念理解に課題があるとされています （令和3年度全国学力調査）。
令和4年度から高等学校で必修化された「情報Ⅰ」では、 プログラミングの基礎としてmod演算が扱われます。 文部科学省の教育課程編成の手引きによると：
文部科学省の調査（令和5年度）によると、情報Ⅰの履修者は約100万人で、 その約70%がPythonやJavaScriptなどでmod演算を実際にプログラムしています。
大学入学共通テスト「情報Ⅰ」（令和7年度から実施）では、 mod演算を含むプログラミング問題が出題されます。 大学入試センターの試作問題では：
河合塾の入試分析（令和5年度）によると、難関大学の個別試験（情報系）では、 mod演算を使った暗号化、データ構造、アルゴリズムの問題が頻出しています。
IPA（独立行政法人情報処理推進機構）の基本情報技術者試験では、 mod演算に関する問題が頻出します。令和4年度の試験統計によると：
応用情報技術者試験では、より高度なmod演算の応用問題が出題され、 「べき乗剰余」や「拡張ユークリッドの互除法」などの知識が求められます。
科学技術・学術政策研究所の調査によると、 情報系・数学系大学生は、以下の科目でmod演算を深く学習します：
特に情報セキュリティ分野では、mod演算は必須の知識で、 東京大学、京都大学、東京工業大学などの難関大学では、 1年次から体系的に学習します。
日本で広く使用されているプログラミング言語でのmod演算の記法：
| 言語 | 記法 | 例 | 結果 |
|---|---|---|---|
| Python | % | 17 % 5 | 2 |
| JavaScript | % | 17 % 5 | 2 |
| Java | % | 17 % 5 | 2 |
| C/C++ | % | 17 % 5 | 2 |
| Ruby | % | 17 % 5 | 2 |
日本の情報産業におけるmod演算の主な応用分野：
経済産業省の「IT人材白書」（令和5年度）によると、 セキュリティエンジニアの約90%が、mod演算を含む暗号技術の知識を 業務で使用していると回答しています。
日本数学オリンピック（JMO）や国際情報オリンピック（IOI）では、 mod演算を使った高度な問題が頻出します：
日本数学オリンピック財団の統計では、本選問題の約30%がmod演算を含む 整数論の問題であり、高度な数学的思考力が求められます。
(a × b) mod n を計算する際、直接計算すると桁あふれが起きる場合：
((a mod n) × (b mod n)) mod n と計算する
an mod m を効率的に計算：
n を2進数で表現し、O(log n) で計算可能
言語によって負の数のmod結果が異なる場合があります：
result = ((a % b) + b) % b で常に非負の結果を得る
a × x ≡ 1 (mod m) となる x（逆元）を求める：
拡張ユークリッドの互除法を使用