有理化計算機は、分母に含まれる根号（√）を消去して有理数に変形するツールです。単一の根号（a/√b）、根号の和（a/(√b + √c)）、根号の差（a/(√b - √c)）の3つのパターンに対応。詳しい計算手順を表示し、共役式の使い方を視覚的に理解できます。中学3年生から高校数学の根号計算の学習を強力にサポートします。
有理化とは、分母に根号（√）が含まれる分数を、 分母が有理数になるように変形することです。 例えば、1/√2 を √2/2 に変形するような操作を指します。
有理化は、計算を簡単にしたり、異なる式の値を比較しやすくしたりするために使われます。 また、数学的な慣習として、最終的な答えでは分母に根号を残さないことが推奨されています。
値を入力して「有理化する」ボタンをクリックしてください
有理化とは、分母に根号（√）が含まれる分数を、 分母が有理数になるように変形することです。 計算を簡単にしたり、値を比較しやすくするために使われます。
文部科学省の学習指導要領によると、有理化は中学校3年生の数学で学習する平方根の応用として扱われます。 根号を含む式の計算技能を身につけることは、 高校数学や理系科目への基礎となります。
全国学力・学習状況調査（令和5年度）のデータによると、 平方根の基本的な計算に関する問題の正答率は約65～75%程度となっており、 多くの生徒が基本的な概念を理解しています。 しかし、有理化を含む応用問題では正答率が下がる傾向があります。詳しくはこちら →
有理化の方法は、分母の形によって3つのパターンに分かれます。
分母・分子に√bを掛けることで有理化します。
例：1/√2 を有理化
答え：√2/2
※√a × √a = a という性質を利用します
分母・分子に共役な式（√b - √c）を掛けることで有理化します。
例：1/(√5 + √3) を有理化
答え：(√5 - √3)/2
※和と差の積の公式 (a + b)(a - b) = a² - b² を利用します
分母・分子に共役な式（√b + √c）を掛けることで有理化します。
例：2/(√7 - √2) を有理化
答え：2(√7 + √2)/5
共役式とは、根号の和・差において、符号を反対にした式のことです。 例えば、√a + √b の共役式は √a - √b です。
和と差の積の公式により、共役式を掛けると根号が消えます：
この性質を利用して、分母の根号を消去することができます。
有理化により、異なる式の大小を比較しやすくなります。
例：1/√2 と 1/√3 の大小を比較
有理化すると：√2/2 と √3/3
√2 ≈ 1.414、√3 ≈ 1.732 より
√2/2 ≈ 0.707、√3/3 ≈ 0.577
∴ 1/√2 > 1/√3
正方形の対角線の長さなど、√2を含む計算で有理化が使われます。
例：1辺が2mの正方形の対角線 = 2√2 m
対角線の半分 = (2√2)/2 = √2 m ≈ 1.414 m
電気回路のインピーダンス計算など、複素数を含む計算で有理化が使われます。
交流回路では、抵抗とリアクタンスの合成インピーダンスを計算する際、 分母に虚数単位を含む場合があり、有理化と同様の手法を用います。
コンピュータでの数値計算において、有理化により計算精度が向上する場合があります。
小さな数で割る計算よりも、大きな数を掛ける計算の方が 丸め誤差が小さくなる傾向があるため、 有理化が数値計算の安定性向上に役立ちます。
特殊角の三角比には根号が含まれることが多く、有理化の技術が必要です。
例：tan 30° = 1/√3 を有理化
1/√3 = √3/3
この形の方が、他の三角比との計算で便利な場合があります。
有理化では、分母と分子の両方に同じ式を掛ける必要があります。
誤：1/√2 → √2/√2 → √2（×）
正：1/√2 → (1×√2)/(√2×√2) → √2/2（○）
共役式は、元の式の符号を反対にします。
√5 + √3 の共役式
誤：√5 + √3（×）
正：√5 - √3（○）
有理化後は、必ず約分できるかチェックしましょう。
例：2/√8 を有理化
2√8/8 → 2×2√2/8 → 4√2/8 → √2/2（約分）
有理化の前に、根号の中を簡単にしておくと計算が楽になります。
例：1/√12 の場合
√12 = √(4×3) = 2√3 と簡単化してから
1/(2√3) → √3/(2×3) → √3/6
分母に2重根号が含まれる場合も、同様の手法で有理化できます。
例：√(a + √b) の形の2重根号は、 特定の条件下で √c + √d の形に変形できます。
分母に3つ以上の根号を含む項がある場合、 段階的に有理化を行います。
例：1/(√a + √b + √c) の場合、 まず(√a + √b)と√cに分けて考えます。
高校数学Ⅱ以降で学習する複素数でも、 有理化と同じ考え方（共役複素数を掛ける）を使います。
例：1/(a + bi) に対して、共役複素数 (a - bi) を掛ける
→ (a - bi)/(a² + b²)